Question

已知a、b、c是△ABC中A、B、C的對邊，關(guān)于x的方程b（x²+1）+c（x²-1）-2ax=0 有兩個(gè)相等的實(shí)根，且sinCcosA-cosCsinA=0，試判定△ABC的形狀．

Answer 1

分析：由已知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0列出關(guān)系式，利用勾股定理的逆定理判斷出B為直角，然后利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知的等式，根據(jù)C-A的范圍，得到A與C相等，進(jìn)而得到原三角形為等腰直角三角形．

解答：解：∵（b+c）x²-2ax+（b-c）=0有相等實(shí)根，
∴△=4a²-4（b+c）（b-c）=0，（3分）
∴a²+c²-b²=0，
∴B=90°．（3分）
又sinCcosA-cosCsinA=0，
得sin（C-A）=0，（3分）
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

．（2分）
∴A=C．
∴△ABC是B為直角的等腰直角三角形．（3分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握根的判別式與方程解得關(guān)系，會利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．