Question

如圖所示，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1
（1）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求直線AB與平面CBF所成角的大小；
（3）當AD的長為何值時，二面角D-FE-B的大小為60°？

Answer 1

分析：（1）欲證平面DAF⊥平面CBF，先證直線與平面垂直，由題意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圓中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，進一步易得平面DAF⊥平面CBF
（2）本題的設問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．根據（1）的證明，有AF⊥平面CBF，所以FB為AB在平面CBF上的射影，則∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角．
（3）二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．由DA⊥平面ABEF可知：過點A作AM⊥EF，交EF的延長線于點M，連接DM，所以∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，∠DMA=60°．

解答：解：（1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
∴AF⊥平面CBF．
∵AF?平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（2）根據（1）的證明，有AF⊥平面CBF，
∴FB為AB在平面CBF上的射影，
因此，∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角．
∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形，
過點F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，則AH=

AB-EF

2

=

1

2

．
在Rt△AFB中，根據射影定理AF²=AH•AB，得AF=1，
sin∠ABF=

AF

AB

=

1

2

，∴∠ABF=30°，
∴直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．
（3）過點A作AM⊥EF，交EF的延長線于點M，連接DM．
根據（1）的證明，DA⊥平面ABEF，則DM⊥EF，
∴∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，
即∠DMA=60°．
在Rt△AFH中，∵AH=

1

2

，AF=1，
∴FH=

3

2

．
又∵四邊形AMFH為矩形，∴MA=FH=

3

2

．
∵AD=MA•tan∠DMA=

3

2

•

3

=

3

2

．
因此，當AD的長為

3

2

時，二面角D-FE-B的大小為60°．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力