Question

已知函數f（x）=x²-mx（m∈R），g（x）=lnx．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），當m=1時，求函數h（x）的單調區間；
（2）若對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）求證：當m＞1時，方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根．

Answer 1

分析：（1）先求出m=1時，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），再求出h′(x)=2x-1-

1

x

，利用導數求函數的單調區間；
（2）對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即x²-mx＞lnx，其中x＞0，用分離常數的思想，得出m＜

x2-lnx

x

在x＞0恒成立，問題轉化為求

x2-lnx

x

最小值，令t(x)=x-

lnx

x

，求導數，研究函數的單調性，求出它的最小值，即可求出m的取值范圍；
（3）構造新函數h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，則研究f（x）=g（x）有兩個不等的實根問題轉化為h（x）有兩個零點問題，下可以采取求出h（x）的導數，研究出函數的極值，再根據m＞1研究極值的符號，確定函數有幾個零點，從而證明f（x）=g（x）兩個不等的實根

解答：（1）當m=1時，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），h′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

(x＞0)，…（3分）
當0＜x＜1時，h'（x）＜0，∴h（x）的單調減區間為（0，1）；…（4分）
當x＞1時，h'（x）＞0，∴h（x）的單調增區間為（1，+∞）．…（5分）
（2）f（x）＞g（x）等價于x²-mx＞lnx，其中x＞0，∴m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

…（6分）
令t(x)=x-

lnx

x

，得t′(x)=

x2+lnx-1

x2

，…（7分）
當0＜x＜1時，t'（x）＜0，當x＞1時，t'（x）＞0，
∴m＜t（x）_min=t（1）=1，
∴m＜1…（10分）
（3）設h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，，其中x＞0．
∵h′(x)=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等價于2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一個正根為x0=

m+ m2+8

4

，…（11分）
且當x∈（0，x₀）時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，x₀）上單調遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上單調遞增；
∴函數只有一個極值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．…（12分）
當m＞1時，x0=

m+ m2+8

4

，關于m在（1，+∞）遞增，
∴x₀∈（1，+∞），lnx₀＞0．…（13分）
∵m＞1，∴(m2+8)-9m2=8(1-m2)＜0，

m2+8

＜3m∴x0-m=

m+ m2+8

4

-m=

m2+8 -3m

4

＜0，…（14分）
h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0，…（15分）
當m＞1時，方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根．…（16分）

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．