Question

已知函數F（x）=ax-lnx（a＞0）
（1）若曲線y=f（x）在點（l，f（l））處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（2）若當x∈[l，e]時，函數f（x）的最小值是4，求函數f（x）在該區間上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（l，f（l））處的切線方程為y=2x+b，即可求a，b的值；
（2）定義域為（0，+∞），確定f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，+∞）單調遞增，根據當x∈[l，e]時，函數f（x）的最小值是4，利用分類討論，即可求得函數f（x）在該區間上的最大值．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=a-

1

x

（x＞0）…（1分）
由f′（1）=a-1=2，∴a=3…（2分）
∴f（1）=3…（3分）
∴b=f（1）-2×1=1…（4分）
（2）定義域為（0，+∞），f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

…（5分）
由f′（x）＞0，得x＞

1

a

，f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

∴f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，+∞）單調遞增…（7分）
若

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]單調遞增，∴f（x）_min=f（1）=a=4，此時f（x）_max=f（e）=4e-1…（9分）
若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時，f（x）在[1，e]單調遞減，∴f（x）_min=f（e）=ae-1=4，∴a=

5

e

＞

1

e

（不合題意）…（11分）
若1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1時，f（x）在（1，

1

a

）單調遞減，在（

1

a

，e）單調遞增，∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=4
此時a=e³（不合題意）
綜上知，f（x）_max=4e-1…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，正確求導，合理分類是關鍵．