Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）求圓C的方程；
（2）直線l過點Q（1，0.5），截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程；
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

（1）由題意可得點C和點M（-2，-2）關于直線x+y+2=0對稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．
設C（m，n），由

m+2

n+2

•（-1）=-1，且

m-2

2

+

n-2

2

+2=0 求得

m=0 n=0

，
故原C的方程為 x²+y²=r²．
再把點P（1，1）代入圓C的方程，求得r=

2

，故圓的方程為 x²+y²=2．
（2）直線l過點Q（1，0.5），當直線l的斜率不存在時，方程為x=1，截圓C得到的弦長等于2

r2-1

=2，滿足條件．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-0.5=k（x-1），即 kx-y+0.5-k=0，則圓心C到直線l的距離d=

|0-0+0.5-k|

k2+1

，
再由弦長公式可得 2=2

r2-d2

，解得k=-

3

4

，故所求的直線方程為-

3

4

x-y+

1

2

+

3

4

=0，即 3x+4y-5=0．
綜上可得，直線l的方程為 x=1，或 3x+4y-5=0．
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，
則得直線OP和AB平行，理由如下：
由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因為P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

．…（12分）
同理，所以x_B=

k2+2k-1

1+k2

，由于AB的斜率k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(yB+yA)

xB-xA

=1=k_OP （OP的斜率），（15分）
所以，直線AB和OP一定平行．