Question

已知實數x，y滿足約束條件：

2x-y-1≥0 x-y+1≤0 x+y-7≤0

（Ⅰ）請畫出可行域，并求z=

y

x-1

的最小值；
（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最優解有無窮多個，求實數a的值．

Answer 1

分析：（I）先根據約束條件畫出可行域，z=

y

x-1

，利用z的幾何意義求最值，只需求出何時可行域內的點與點（1，0）連線的斜率的值最小，從而得到

y

x-1

的最小值．
（II）先根據約束條件畫出可行域，設z=x+ay，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+ay與可行域的邊界BC平行時，最優解有無窮多個，從而得到a值即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖示畫出可行域：-------（2分）
∵

y

x-1

表示（x，y）與（1，0）連線的斜率，如圖示，

x-y+1=0 x+y-7=0

得

x=3 y=4

，即A（3，4），
∴當x=3，y=4時，z取最小值

4

3-1

=2．-----（6分）

（Ⅱ）取z=0得直線l：y=-

1

a

x，
∵z=x+ay取最小值的最優解有無窮多個，
如圖示可知：-

1

a

=k_BC=2，-----------（10分）
∴a=-

1

2

．------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．