Question

【題目】設命題p：實數x滿足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足≥0．

（Ⅰ）若a=1，p，q都為真命題，求x的取值范圍；

（Ⅱ）若q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[2，3）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化為x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q為真命題的x的范圍，取交集得答案；

（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要條件，可得[2，4）（-a，3a），由此列關于a的不等式組求解．

（Ⅰ）a=1，則x2-2ax-3a2＜0化為x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；

若q為真命題，則≥0，解得2≤x＜4．

∴p，q都為真命題時x的取值范圍是[2，3）；

（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，

由≥0，得2≤x＜4，

∵q是p的充分不必要條件，∴[2，4）（a，3a），

則，即．