Question

已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l經過點D（-2，0），
（Ⅰ）求以線段CD為直徑的圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C相交于A，B兩點，且△ABC為等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓C化成標準方程，得圓心為C（0，4），半徑為2．從而得到CD的中點E（-1，2），得所求圓心坐標，再根據兩點的距離公式算出半徑r=

5

，即得以線段CD為直徑的圓E的方程；
（2）設直線l的方程為：y-0=k（x+2），根據題意等腰Rt△ABC中|AB|=

2

|CA|=2

2

，利用點到直線的距離公式建立關于k的等式，解之可得實數k的值，得到直線l的方程．

解答：解：（1）將圓C的方程x²+y²-8y+12=0配方得標準方程為x²+（y-4）²=4，
則此圓的圓心為C（0，4），半徑為2．----（2分）
所以CD的中點E（-1，2），可得|CD|=

22+42

=2

5

，----（4分）
∴r=

5

，得圓E的方程為（x+1）²+（y-2）²=5；----（5分）
（2）設直線l的方程為：y-0=k（x+2）?kx-y+2k=0----（6分）
∵|CA|=2，且△ABC為等腰直角三角形，
∴|AB|=

2

|CA|=2

2

，
因此圓心C到直線l的距離d=

|0-4+2k|

k2+1

=

2

2

|CA|=

2

．----（8分）
解之得k=1或k=7，
所求直線l的方程為：x-y+2=0或7x-y+14=0----（10分）

點評：本題求圓的方程和直線l的方程，著重考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．