Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分別為PA、BC的中點，且PD=

2

，CD=1
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）取AD中點E，連接ME，NE，結合已知條件，由三角形中位線定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判斷出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PCD；
（2）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，結合正方形的性質及線面垂直的性質，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（3）由已知中PD⊥平面ABCD，所以PD為三棱錐P-ABC的高，求出棱錐的底面面積和高的長度，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：取AD中點E，連接ME，NE，
由已知M，N分別是PA，BC的中點，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（4分）
（2）ABCD為正方形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，（6分）
所以AC⊥平面PBD，（8分）
所以平面PAC⊥平面PBD（10分）
（3）PD⊥平面ABCD，所以PD為三棱錐P-ABC的高
三角形ABC為等腰直角三角形，
所以三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•PD=

1

6

（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是得到平面MNE∥平面PCD，（2）的關鍵是證得AC⊥平面PBD，（3）的關鍵是由已知得到PD為三棱錐P-ABC的高．