Question

【題目】已知數(shù)列 滿足 ， ，求證：
（I） ；
（II） ；
（III） .

Answer 1

【答案】解：（I）（數(shù)學(xué)歸納法）
當 時，因為 ，所以 成立.
假設(shè)當 時， 成立,
則當 時， .
因為 ，
且 得
所以 也成立.
（II）因為 ，
所以
所以 .
（III）因為 ，所以 .
從而 .
所以 ，即 .
所以 .
又 ，故 .
【解析】此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)學(xué)歸納法的作用的相關(guān)知識，掌握用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、幾何中的計算問題等，以及對數(shù)學(xué)歸納法的步驟的理解，了解

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時命題成立； C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n>=,且)結(jié)論都成立

．