Question

已知函數f(x)對任意實數x、y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，當0≤x＜1時，0≤f(x)＜1．

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)判斷f(x)在[0，＋∞)上的單調性，并給出證明；

(3)若a≥0，且f(a＋1)≤，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

分析：因為xn·yn＝(x·y)n，又f(27)＝9，可以猜想f(x)的原型是冪函數y＝x，進而可猜想f(x)是偶函數，且在[0，＋∞)上是增函數． 　　解：(1)令y＝－1，則f(－x)＝f(x)·f(－1)． 　　因為f(－1)＝1，所以f(－x)＝f(x)， 　　所以f(x)為偶函數． 　　(2)函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數． 　　證明如下： 　　若x≥0，則f(x)＝f(·)＝f()·f()＝[f()]2≥0． 　　設0≤x1＜x2，則0≤＜1， 　　且f(x1)＝f＝f·f(x2)． 　　因為當0≤x＜1時，0≤f(x)＜1， 　　所以0≤f＜1， 　　所以f(x1)＜f(x2)． 　　故函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數． 　　(3)因為f(27)＝9， 　　又f(3×9)＝f(3)·f(9)＝f(3)·f(3)·f(3)＝[f(3)]3， 　　所以9＝[f(3)]3， 　　所以f(3)＝． 　　因為f(a＋1)≤， 　　所以f(a＋1)≤f(3)． 　　又因為3≥0，a＋1≥0，且函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數， 　　所以a＋1≤3，即a≤2， 　　又a≥0，故0≤a≤2． 　　點評：合理地運用條件賦予抽象函數的性質，借助于函數的單調性，巧妙地去掉函數符號，從而將抽象函數問題轉化為具體函數問題，在這個過程中要注意問題的等價轉化．同時，適當地賦值也是研究抽象函數的常用方法，在解題中必須予以重視． 　　總之，解決抽象函數問題，可以將它與學過的具體函數聯系起來，尋求函數的原型．適當地賦值也是得到一些基礎結論的好方法．只要我們在學習中不斷總結，富于聯想，抽象函數問題就不那么抽象了．