Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點，F為正方形BCC₁B₁的中心．
（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線A₁C與EF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）取BC中點H，連結FH，EH，證明∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，即可得出結論；
（2）取A₁C中點O，連接OF，OA，則∠AOA₁為異面直線A₁C與EF所成角，由余弦定理，可得結論；
解法二：設正方體棱長為2，以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求出結論．

解答：解法一：（1）取BC中點H，連結FH，EH，設正方體棱長為2．
∵F為BCC₁B₁中心，E為AB中點．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=

2

．
∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH=

FH

EH

=

1

2

=

2

2

．…（6分）
（2）取A₁C中點O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．
∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．
∴∠AOA₁為異面直線A₁C與EF所成角．
∵A₁A=2，AO=A₁O=

3

．
∴△AOA₁中，由余弦定理得cos∠A₁OA=

1

3

．…（12分）
解法二：設正方體棱長為2，以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），B₁（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A₁（0，2，2）．
（1）

EF

=（1，-1，1），

BB1

=（0，0，2），且

BB1

為平面ABCD的法向量．
∴cos＜

EF

，

BB1

＞=

3

3

．
設直線EF與平面ABCD所成角大小為θ．
∴sinθ=

3

3

，從而tanθ=

2

2

．…（6分）
（2）∵

A1C

=（2，-2，-2），∴cos＜

CA1

，

EF

＞=

1

3

．
∴異面直線A₁C與EF所成角的余弦值為

1

3

．…（12分）

點評：本題考查空間角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．