Question

已知函數f(x)=x+alnx+

a+1

x

，函數g（x）=ax²-9a-1．
（Ⅰ）當a=-3時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a＜-4時，A=[

1

3

，3]．
（i）求函數f（x）在A上的最大值；
（ii）若存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-3代入函數解析式，求導函數后分別由導函數大于0和小于0求解原函數的增區間和減區間；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，由a＜-4可知A=[

1

3

，3]為原函數的減區間的子集，則函數在A上的最大值可求，
再求出函數g（x）在A上的值域，經分析在集合A上f（x）的最大值小于g（x）的最大值，所以存在x₁，x₂∈A，
使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立轉化為f（x）的最大值與g（x）的最小值差的絕對值小于6求解a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=-3時，f(x)=x-3lnx-

2

x

，函數的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=1-

3

x

+

2

x2

=

x2-3x+2

x2

，
由f^′（x）＞0，得x²-3x+2＞0，所以x＜1或x＞2，則當1＜x＜2時f^′（x）＜0，
所以函數的增區間為（0，1），（2，+∞）．減區間為（1，2）．
（Ⅱ）f′(x)=1+

a

x

-

a+1

x2

=

x2+ax-a-1

x2

=

(x+a+1)(x-1)

x2

，
因為a＜-4，所以-a-1＞3，
所以在（0，1），（-a-1，+∞）上函數為增函數，在（1，-a-1）上為減函數，
（i）由函數的單調性知，函數在[

1

3

，1]上增，在[1，3]上減
所以函數f（x）在A上的最大值為f（1）=1+a+1=a+2；
（ii）對于函數g（x）=ax²-9a-1，因為a＜-4，所以其對稱軸方程為x=0，函數g（x）在[

1

3

，3]上為減函數，
所以其值域為[-1，-

80

9

a-1]，
因為當a＜-4時-

80

9

a-1＞3a-aln3+

10

3

，所以存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立，
只需|3a-aln3+

10

3

-(-1)|＜6成立即可，即-

31

3(3-ln3)

＜a＜

5

3(3-ln3)

，
所以，若存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立的實數a的取值范圍是(-

31

3(3-ln3)

，-4)．

點評：本題考查了利用到函數研究函數的單調性，考查了函數恒成立的問題，解答此題的關鍵是運用數學轉化思想，把
存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立轉化為兩函數的最值差的絕對值小于6，此題有一定難度．