Question

某商場(chǎng)準(zhǔn)備在五一勞動(dòng)節(jié)期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)．
（Ⅰ）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（Ⅱ）商場(chǎng)對(duì)選出的A商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高90元，同時(shí)允許顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都可獲得一定數(shù)額的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否是等可能的，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)自己有利？

Answer 1

分析：（Ⅰ）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品，一共可以有

C

3 9

種不同的選法．選出的3種商品中，沒(méi)有日用商品的選法有

C

3 5

種，利用古典概型和互為對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）假設(shè)商場(chǎng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量ξ，其所有可能的取值為，0，x，2x，3x．則P（ξ=ix）=

C

i 3

(

1

2

)i•(

1

2

)3-i（i=0，1，2，3）．進(jìn)而得出Eξ．要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，因此應(yīng)有Eξ≤90．

解答：解：（Ⅰ）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品，一共可以有

C

3 9

種不同的選法．
選出的3種商品中，沒(méi)有日用商品的選法有

C

3 5

種，
所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-

C 3 5

C 3 9

=1-

5

42

=

37

42

．
（Ⅱ）假設(shè)商場(chǎng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量ξ，其所有可能的取值為，0，x，2x，3x．
ξ=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，所以P（ξ=0）=（

1

2

）³=

1

8

，
同理可得P（ξ=x）=

C

1 3

（

1

2

）（

1

2

）²=

3

8

，
P（ξ=2x）=

C

2 3

（

1

2

）²（

1

2

）=

3

8

，P（ξ=3x）=（

1

2

）³=

1

8

．
于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望是
Eξ=0×

1

8

+x•

3

8

+2x•

3

8

+3x•

1

8

=1.5x．
要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，因此應(yīng)有1.5x≤90，所以x≤60，
故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為60元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)自己有利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式、互為對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．