Question

已知橢圓C的中心為原點O，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，當直線l垂直于x軸時，=
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知點P為橢圓的上頂點，且存在實數t使成立，求實數t的值和直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓C的方程為（a＞b＞0），則a²-b²=1，當l垂直于x軸時，A，B兩點的坐標分別是（1，）和（1，-），由=（1，）•（1，-）=1-，知a²=2b⁴，由此能求出橢圓C的方程．
（II）當直線斜率不存在時，A（1，），B（1，-），P（0，1），=（1，-1），=（1，--1），=（1，-1），由t使，得直線l的方程為x=1當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1），=（1，-1），由t使+=t，得直線l的方程為y=-x+1．由此能求出結果．
解答：解：（I）設橢圓C的方程為（a＞b＞0），
則a²-b²=1，①
∵當l垂直于x軸時，A，B兩點的坐標分別是（1，）和（1，-），
∴=（1，）•（1，-）=1-，
則1-=，即a²=2b⁴．②
由①，②消去a，得2b⁴-b²-1=0．∴b²=1或b²=-．
當b²=1時，a²=2．因此，橢圓C的方程為．
（II）當直線斜率不存在時，A（1，），B（1，-），P（0，1），
所以=（1，-1），=（1，--1），=（1，-1），
由t使，得t=2，直線l的方程為x=1
當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），
所以，=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1），=（1，-1），
由t使+=t，得
，即，
因為y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），解得：k=-1
此時，直線l的方程為y=-x+1，
聯立，得3x²-4x=0，t=x₁+x₂=，
∴當直線斜率存在時，t=，直線l的方程為y=-x+1，
綜上所述，存在實數t，且t=2時，直線方程x=1，
當t=1時，直線l的方程為y=-x+1．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．