Question

設(shè)AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的不垂直于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則k_AB•k_OM=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出k_ABk_OM=

y 2 2 - y 1 2

x 2 2 - x 1 2

，再利用b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，代入可得答案．

解答：解：由題意得：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則中點(diǎn)M（

x1+ x2

2

，

y1+ y2

2

），
所以k_AB=

y2- y1

x2-x1

，k_OM=

y2+ y1

x2+x1

，
所以k_AB•k_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）在橢圓上
所以b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
所以得b²（x₂²-x₁²）+a²（y2²-y₁²）=0，
所以

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

b2

a2

．
故答案為-

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是利用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)而不求點(diǎn)的坐標(biāo)直接根據(jù)題意寫出表達(dá)式進(jìn)行整體求解，此種方法在圓錐曲線部分常見．