Question

【題目】已知函數．

若函數在內有且只有一個零點，求此時函數的單調區間；

當時，若函數在上的最大值和最小值的和為1，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

求出函數的導數，得到極值點，當時，當時，判斷導函數的符號，得到函數的單調性，利用函數的極值結合函數的零點推出函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；當時，函數有兩個極值點，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合題意舍去，通過若；若，轉化求解即得到實數的值．

，

由，得到，，

當時，在區間上恒成立，

即函數在區間上單調遞增，

又因為函數的圖象過點，即，

所以函數在內沒有零點，不合題意，

當時，由得，即函數在區間上單調遞增，

由得，即函數在區間在上單調遞減，

且過點，要使函數在內有且只有一個零點，則須，

即，解得，

綜上可得函數在內有且只有一個零點時，

此時函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為

當時，函數在，上單調遞增，在上單調遞減，

此時函數有兩個極值點，極大值為，極小值為，

且，，，

若，即，也即時，此時，

又，

由可得，即，符合題意

若，即，也即時，

此時，，

由可得，即，不符合題意舍去，

又

，

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去，

綜上所述可知所求實數a的值為