Question

4．已知函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（3a+4）≥f（5a），求實數a的取值范圍；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，設g（x）=f（x）-3^x+4，判斷g（x）在（1，2）上零點的個數并證明：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）根據當0＜a＜1和a＞1兩種情況，利用對數函數的單調性能求出實數a的取值范圍．
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，函數g（x）在（1，2）單調遞減，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（3a+4）≥f（5a），
∴當0＜a＜1時，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≤5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，無解；
當a＞1時，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≥5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
∴實數a的取值范圍是（1，2]．
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，
函數g（x）在（1，2）單調遞減，
g（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1-3+4=1＞0$，
g（2）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}2-{3}^{2}+4$=-6＜0，
∴g（x）=f（x）-3^x+4，在（1，2）上只有1個零點．
∵g（x）＜0對（2，+∞）恒成立，
∴對任意λ＞0，都存在μ=$\frac{2}{λ}$＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查函數的零點個數的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數函數性質的合理運用．