Question

設函數f（x）=（x²+3x+m）•e^-x（其中m∈R，e是自然對數的底數）
（I）若m=3，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（II）若函數f（x）在（-∞，0）上有兩個極值點．
①求實數m的范圍；     
②證明f（x）的極小值大于e．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f'（x），求出f′（0）得到切線的斜率，然后求出切點坐標，最后利用點斜式可求出切線方程；
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x，要使函數f（x）在（-∞，0）上有兩個極值點只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有兩個不等的負根，建立關于m的不等式，解之即可求出m的取值范圍；
②先求出極小值，然后利用對稱軸和g（0）＞0求出極小值點的取值范圍，最后利用導數研究函數在區間上的最小值即可．

解答：解：（I）f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x
∵m=3
∴f（x）=（x²+3x+3）•e^-x，f'（x）=-（x²+x）•e^-x
∴f（0）=3，f′（0）=0
故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=3
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x，要使函數f（x）在（-∞，0）上有兩個極值點
只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有兩個不等的負根
那么實數m應滿足

△＞0 m-3＞0

解得3＜m＜

13

4

，
②設兩負根為x₁，x₂且x₁＜x₂＜0，可知x=x₁時有極小值f（x₁）
由于對稱軸為x=-

1

2

，g（0）＞0，所以-1＜x₁＜-

1

2

，且

x

2 1

+x₁+m-3=0得m=3-

x

2 1

-x₁，
∴f（x₁）=（

x

2 1

+3x₁+m）•e-x1=（2x₁+3）•e-x1，（-1＜x₁＜-

1

2

）
令h（x）=（2x+3）•e^-x
∵h′（x）=（-1-2x）•e^-x＞0，即h（x）在x∈（-1，-

1

2

）上單調遞增，
∴h（x）＞h（-1）=e
故f（x₁）＞e

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的切線，以及求函數的最值，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．