Question

如圖， 在三棱錐中，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，，當三棱錐的體積最大時，求的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件先證明平面，然后再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息說明平面，將視為三棱錐的高，設，將底面積用表示出來，最后將三棱錐用以的代數式進行表示，并結合基本不等式求最大值；方法2：由于為直角三角形，將的面積用以為自變量的三角函數表示，最終將三棱錐的體積用三角函數進行表示，最后利用三角函數的相關方法求體積的最大值.

試題解析：（1）證明：因為，所以，．        1分

因為，所以平面．                      2分

因為平面，所以．                        3分

因為，所以．                          4分

因為，所以平面．                      5分

因為平面，所以平面平面．                  6分

（2）方法1：由已知及（1）所證可知，平面，，

所以是三棱錐的高．           7分

因為，，設，     8分

所以．    9分

因為

                              10分

                            11分

．                                  12分

當且僅當，即時等號成立．                     13分

所以當三棱錐的體積最大時，．                   14分

方法2：由已知及（1）所證可知，平面，

所以是三棱錐的高．                           7分

因為，設，                    8分

則，．                 9分

所以．               10分

所以

．                               11分

因為，

所以當，有最大值．                          12分

此時．                              13分

所以當三棱錐的體積最大時，．                   14分

考點：平面與平面垂直的判定，錐體體積的計算，基本不等式，三角函數的最值.