Question

21、已知兩個實數集合A={a₁，a₂，…，a₁₀₀}，B={b₁，b₂，…，b₅₀}，若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f（ a₁）≤f（a₂）≤…≤f（a₁₀₀），這樣的映射共有

C₉₉⁹⁹

個．（用符號作答）．

Answer 1

分析：本題直接考慮集合A中每一個元素在B中的象的情況非常困難．注意到集合B中每個元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個元素對應；現將集合A中的100個元素按原有的順序分成50組，每組至少一個元素；將集合B中的元素按從小到大的順序排列為B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），∴A中的“第1組”元素的象為b₁′，“第2組”元素的象為b₂′，，“第50組”元素的象為b₅₀′，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100個元素所形成的99個“空”中插上49塊“擋板”，所以有C₉₉⁴⁹種分法，即映射共有C₉₉⁹⁹個．

解答：解：本題直接考慮集合A中每一個元素在B中的象的情況非常困難．
注意到集合B中每個元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個元素對應；現將集合A中的100個元素按原有的順序分成50組，每組至少一個元素；將集合B中的元素按從小到大的順序排列為B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；
∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），
∴A中的“第1組”元素的象為b₁′，“第2組”元素的象為b₂′，，“第50組”元素的象為b₅₀′，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100個元素所形成的99個“空”中插上49塊“擋板”，所以有C₉₉⁴⁹種分法，即映射共有C₉₉⁹⁹個．

點評：本題考查了映射的知識，關鍵為逆向思維，B中50個元素對應A中50組數據，即在99個空位中用49個擋板隔開．