Question

如圖，在平面直角坐標系中，N為圓A：（x+1）²+y²=16上的一動點，點B（1，0），點M是BN中點，點P在線段AN上，且

.

MP

•

.

BN

=0
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）試判斷以PB為直徑的圓與圓x²+y²=4的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題設，依據(jù)橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，依橢圓定義寫出標準方程．
（2）求出兩圓的圓心距以及兩圓的半徑，根據(jù)兩圓的位置關系判斷即得，兩圓的位置關系有五種，應根據(jù)條件判斷出應是那一種．

解答：解：（I）由點M是BN中點，又

MP

•

BN

=0，
可知PM垂直平分BN．所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
所以|PA|+|PB|=4．
由橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．
如圖焦點在x軸上，
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
可知動點P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1   （6分）
（II）解：設點P（x₀，y₀），PB的中點為Q，，則Q（

x0 +1

2

，

y0

2

），
|PB|=

(x0-1)2+y02

=

x02-2x0+1+3- 3 4 x02

=

1 4 x02-2x0+4

=2-

1

2

x₀，
即以PB為直徑的圓的圓心為Q（

x0 +1

2

，

y0

2

），，半徑為1-

1

4

x₀，，
又圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑r₂=2，
又|OQ|=

( x0+1 2 )2+ ( y0 2 )2

=

1 16 x02+  1 2 x0+1

=1+

1

4

x0
故|OQ|=r₂-r₁，即兩圓內(nèi)切．（13分）

點評：考查橢圓的定義法求橢圓的方程以及兩圓的位置關系的判斷．考查基礎知識的題型．