Question

已知橢圓的一個頂點為（-2，0），焦點在x軸上，且離心率為．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，O為原點，當△AOB的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為，由題意得．由此能求出所求橢圓的標準方程．
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓中有3x²+4bx+2b²-4=0，由根的判別式求出b的取值范圍，再由韋達定理求出，然后由點O到直線l的距離求出△AOB的面積，由此能求出所求的直線方程．
解答：解：（1）設橢圓方程為，由題意得
∴∴b²=a²-c²=2所以所求橢圓的標準方程為
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓中有3x²+4bx+2b²-4=0
由△=（4b）²-4×3（2b²-4）=-8b²+48＞0得
由韋達定理得∴
又點O到直線l的距離∴
∴當b²=3（滿足）時，S_△ABC有最大值．此時
∴所求的直線方程為
點評：本題考查直線圓錐曲線的位置關系和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理選用．