Question

已知過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x²=py相切于點T（-4，y_o）；中心在坐標原點，一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點．
（1）求直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程；
（3）設(shè)點M（x₁，y_l）是拋物線C上任意一點，D（0，-2）為定點，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，利用過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x²=py相切于點T（-4，y_o），即可求得直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）先確定，從而當e最大時，a取得最小，即在直線l上找一點P，使得|PF₁|+|PF₂|最小，求出F₂（0，-1）關(guān)于2x-y+4=0對稱點的坐標，即可求橢圓方程；
（3）假設(shè)l′存在為y=b，求出以MD為直徑的圓N的圓心坐標，求出半徑為r、N到直線l′的距離，從而可計算弦長，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵，∴，∴l(xiāng)：
∵直線l過點A（0，4），∴，∴p=-4
∴l(xiāng)的方程為2x-y+4=0，焦點F的坐標為（0，-1）…（4分）
（2）設(shè)橢圓為=1（a＞1），F(xiàn)₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），則，當e最大時，a取得最小
則在直線l上找一點P，使得|PF₁|+|PF₂|最小
設(shè)F₂（0，-1）關(guān)于2x-y+4=0對稱點為F₂′（x，y）     …（6分）
，解得
∴…（8分）
∴所求橢圓方程為…（9分）
（3）假設(shè)l′存在為y=b，以MD為直徑的圓N的圓心為N
半徑為r=|ND|=…l0分
N到直線l′的距離為d=
∵
∴弦長=…（12分）
∴當b=-1時，弦長為定值2                             …（13分）
即l′為y=-1時，垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑 的圓截得的弦長為定值2．…（14分）
點評：本題考查直線、拋物線、橢圓方程的求解，考查弦長的計算，考查對稱點的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．