Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p、q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“M類數列”；
（1）若a_n=2n，數列{a_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p、q，若不是，請說明理由；
（2）數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），若數列{a_n}是“M類數列”，求數列{a_n}的通項公式；
（3）記數列{a_n}的前n項之和為S_n，求證：（n≥3）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=2n，可得a_n+1=a_n+2，根據“M類數列”定義，可得結論；
（2）根據數列{a_n}是“M類數列”，可得存在實常數p、q使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，結合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），可求數列{a_n}的通項公式；
（3）確定數列{a_n}的前n項之和為S_n，利用放縮法，結合裂項求和，即可得到結論．
解答：（1）解：∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，
故數列{a_n}是“M類數列”，對應的實常數p、q的值分別為1、2．（2分）
（2）解：∵數列{a_n}是“M類數列”，
∴存在實常數p、q使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
∴a_n+2=pa_n+1+q，故（4分）
又，∴對于任意n∈N^*都成立，
即對于任意n∈N^*都成立，（6分）
因此p=2，q=0
此時，∴（8分）
（3）證明：由（2）知：（9分）
當n≥3時，，
當且僅當n=3時等號成立，所以S_n≥2（2n+1）（11分）
于是
因為S₁=2，S₂=6，S₃=14，所以
=．（13分）
點評：本題考查新定義，考查數列與不等式的結合，考查數列的通項，考查放縮法、裂項法，屬于中檔題．