Question

3名男生4名女生按照不同的要求站成一排，求不同的排隊方案有多少種？
（1）甲乙2人必須站兩端；     
（2）甲不站左端，乙不站右端；
（3）甲乙兩人必須相鄰；      
（4）3名男生自左向右由高到低排列．

Answer 1

【答案】分析：（1）分2步進行：先安排甲乙2人站兩端，進而將其余的5人安排在中間5個位置，由排列公式可得其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案；
（2）分2種情況討論，一種是甲不站在兩端，令一種是甲站在右端，由排列公式可得其情況數目，進而由分類計數原理計算可得答案；
（3）用捆綁法，先將甲乙兩人視為一個元素，與其他5人進行全排列，再考慮甲乙兩人的順序，由排列公式可得其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案；
（4）分2步進行：先在7個位置任取4個，來安排女生，進而將3名男生自左向右由高到低排進剩余的3個位置，由排列公式可得其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案．
解答：解：（1）根據題意，甲乙2人站兩端，有A₂²種情況，其余的5人在中間5個位置，有A₅⁵種情況，
則共有A₂²A₅⁵=240種排隊方案，
（2）分2種情況討論，若甲不站在兩端，甲有A₅¹種站法，乙有A₅¹種站法，剩余5人站剩余5個位置，有A₅⁵種站法，
若甲站在右端，剩余6人站剩余6個位置，有A₆⁶種站法，
則共有A₅¹A₅¹A₅⁵+A₆⁶=3720種排隊方案，
（3）甲乙兩人必須相鄰，將甲乙兩人視為一個元素，與其他5人進行全排列，有A₆⁶種站法，
考慮甲乙兩人的順序，有A₂²種站法，則有A₆⁶A₂²=1440種排隊方案，
（4）先在7個位置任取4個，來安排女生，有A₇⁴種情況，
3名男生自左向右由高到低排進剩余的3個位置，有1種情況，
則共有1×A₇⁴=840種排隊方案．
點評：本題主要考查排列、組合的運用，注意受限制的元素或位置要優先排，其次要掌握特殊問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題插空法等．