Question

圓錐SO的底面半徑為

3

，母線長2，A，B是底面圓周上兩動點，過S，A，B作圓錐的截面，當△SAB的面積最大時，截面SAB與底面圓O所成的（不大于

π

2

的）二面角等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：利用圓錐的軸截面和截面的性質、直角三角形的性質、勾股定理、二面角的定義、三垂線定理即可得出．

解答：解：如圖所示，在軸截面△SAD，Rt△SAO中，sin∠ASO=

OA

SA

=

3

2

，∴∠ASO=60°，∴∠ASD=120°．
因此當△SAB的面積最大時，∠ASB可取得90°．于是AB=

2

SA=2

2

．
取AB的中點C，連接OC，SC．
則OC⊥AB，∵SO⊥底面ABD，∴AB⊥SC，∴∠SCO即為截面SAB與底面圓O所成的（不大于

π

2

的）二面角．
在Rt△OCA中，OC=

OA2-AC2

=

( 3 )2-( 2 )2

=1．
在Rt△SOA中，OS=

SA2-OA2

=1．
在Rt△SOC中，tan∠SCO=

SO

OC

=1，∴∠SCO=

π

4

．
故選B．

點評：熟練掌握圓錐的軸截面和截面的性質、直角三角形的性質、勾股定理、二面角的定義、三垂線定理等是解題的關鍵．