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圓錐SO的底面半徑為
3
,母線長2,A,B是底面圓周上兩動點,過S,A,B作圓錐的截面,當△SAB的面積最大時,截面SAB與底面圓O所成的(不大于
π
2
的)二面角等于(  )
分析:利用圓錐的軸截面和截面的性質、直角三角形的性質、勾股定理、二面角的定義、三垂線定理即可得出.
解答:解:如圖所示,在軸截面△SAD,Rt△SAO中,sin∠ASO=
OA
SA
=
3
2
,∴∠ASO=60°,∴∠ASD=120°.
因此當△SAB的面積最大時,∠ASB可取得90°.于是AB=
2
SA=2
2

取AB的中點C,連接OC,SC.
則OC⊥AB,∵SO⊥底面ABD,∴AB⊥SC,∴∠SCO即為截面SAB與底面圓O所成的(不大于
π
2
的)二面角.
在Rt△OCA中,OC=
OA2-AC2
=
(
3
)2-(
2
)2
=1.
在Rt△SOA中,OS=
SA2-OA2
=1.
在Rt△SOC中,tan∠SCO=
SO
OC
=1,∴∠SCO=
π
4

故選B.
點評:熟練掌握圓錐的軸截面和截面的性質、直角三角形的性質、勾股定理、二面角的定義、三垂線定理等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知圓錐的底面半徑為r=10,點Q為半圓弧
AB
的中點,點P為母線SA的中點.若PQ與SO所成角為
π
4
,求此圓錐的全面積與體積.

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