Question

（本小題滿分15分）

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）證明：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

（本小題滿分15分）

    解：（1）由題意，得a =，e =，∴c =1，∴b²=1．

所以橢圓C的標準方程為．           ……………………… 6分

       （2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴，∴．

所以直線OQ的方程為y =2x．                ……………………… 10分

又橢圓的右準線方程為x =2，所以Q(2，4)，所以．

又，所以，即OP⊥PQ．

故直線PQ與圓O相切．                      ……………………… 15分