Question

函數(shù)y=f （x ）=-x³+ax²+b（a，b∈R ），
（Ⅰ）要使y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)滿足y_極小值=1，y_極大值=，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線傾斜角為θ，求當(dāng)0≤θ≤時(shí)a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
要使f（x）在(0，1)上單調(diào)遞增，
則x∈(0，1)時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴≥0，
即當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，≥恒成立，
∴≥，即a的取值范圍是[∞。
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0或=，
∵a＞0，∴當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

∴y_極小值=f（0）=b=1，y_極大值==+·+1=，
∴b=1，a=1，
故f（x）=。
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，tanθ=，
由θ∈[0，]，得0≤f′（x）≤1，
即x∈[0，1]時(shí)，0≤≤1恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，a∈R，
當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，由≥0恒成立，
由(Ⅰ)知≥，
由≤1恒成立，a≤(3x+)，
∴≤(等號(hào)在=時(shí)取得)；
綜上，≤≤。