Question

已知定義域為R的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質可得f（0）=0．設x＜0，則-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，由此可得函數f（x）的解析式．
（2）若函數y=f（x）在R上恰有5個零點，則這5個零點關于原點對稱，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2個正實數根，即函數y=lnx 與直線y=ax-1在
（0，+∞）上有兩個交點．當y=lnx的圖象與直線y=ax-1相切時求得 a=1，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由奇函數的性質可得，f（0）=0．設x＜0，則-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），
求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，
故函數f（x）的解析式為f（x）=

lnx-ax+1， x＞0 0 ， x=0 -ln(-x)-ax-1 ，x＜0

．
（2）若函數y=f（x）在R上恰有5個零點，則這5個零點關于原點對稱，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2個正實數根，
即函數y=lnx 與直線y=ax-1在（0，+∞）上有兩個交點．

當y=lnx的圖象與直線y=ax-1相切時，設切點為（m，lnm），則切線斜率為 （lnm）′=

1

m

，
則切線方程為 y-lnm=

1

m

（x-m），即切線為 y=

1

m

x-1+lnm，故有

1 m =a -1+lnm=-1

，解得 a=m=1．

要使函數y=lnx 與直線y=ax-1在（0，+∞）上有兩個交點，則有 0＜a＜1，即實數a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，函數的奇偶性的應用，求函數的解析式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．