Question

已知三條直線l₁:2x-y+a=0(a＞0)、直線l₂:-4x+2y+1=0和直線l₃:x+y-1=0,且l₁與l₂的距離是.

(1)求a的值；

(2)求l₃到l₁的角θ;

(3)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件:①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是∶.若能，求出P點坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

解：(1)l₂即2x-y-=0,

∴l(xiāng)₁與l₂的距離d==.

∴=.∴|a+|=.

∵a＞0,∴a=3.

(2)由(1),l₁即2x-y+3=0,∴k₁=2.

    而l₃的斜率k₃=-1,

∴tanθ==-3.

∵0≤θ＜π,

∴θ=π-arctan3.

(3)設點P(x₀,y₀),若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線l′:2x-y+C=0上，

    且=·,

    即C=或C=.∴2x₀-y₀+=0

    或2x₀-y₀+=0;

    若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，有·,

    即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|,

∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0.

    由P在第一象限,∴3x₀+2=0不可能.

    聯(lián)立方程2x₀-y₀+=0和x₀-2y₀+4=0,解得應舍去.

    由解得

∴P(,)即為同時滿足三個條件的點.