Question

如圖所示，已知圓C：(x＋1)²＋y²＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足AP＝PM，NP⊥MA，點N的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若過定點F(0，2)的直線交曲線E于不同的兩點G、H(點G在點F、H之間)，且滿足＝λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)NP為AM的垂直平分線，∴|NA|＝|MN| 　　又∵|CN|＋|MN|＝，∴|CN|＋|AN|＝＞2　2分 　　∴動點N的軌跡是以點C(－1，0)，A(1，0)為 　　焦點的橢圓，且長軸長，焦距2c＝2 　　∴， 　　∴曲線E的方程為　5分 　　(Ⅱ)當直線GH斜率存在時， 　　設直線GH的方程為， 　　得，由 　　設G()，H()，則 　　又∵＝λ，∴ 　　∴ 　　∴，整理得 　　∵ 　　解得又 　　又當直線GH斜率不存在時，方程為， 　　，即所求的取值范圍是　12分