Question

二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函數f（x）的圖象與直線y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）當且僅當x∈[4，m]（m＞4）時，f（x-t）≤x恒成立，試求t、m的值．

Answer 1

分析：（I）x滿足f（x-4）=f（2-x）因此代入求解的到a與b的關系，再利用相切得到另一個關系即可求出a，b．
（II）把“當x∈[4，m]（m＞4）時，f（x-t）≤x恒成立”這個不等式恒成立問題轉化為“不等式f（x-t）≤x的解集為[4，m]（m＞4）”這個我們比較熟悉的解集問題．根據函數滿足的關系式代入得到a與b的關系式，對于不等式恒成立進行轉化．

解答：解：（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴方程組

y=ax2+bx y=x

有且只有一解；
即ax²+（b-1）x=0有兩個相同的實根，
∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=

1

2

．
∴函數f（x）的解析式為f(x)=

1

2

x2+x．（6分）
（其它做法相應給分）
（II）∵當且僅當x∈[4，m]（m＞4）時，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集為[4，m]（m＞4）．
即

1

2

(x-t)2+(x-t)≤x的解集為[4，m]．
∴方程

1

2

(x-t)2+(x-t)=x的兩根為4和m，
即方程x²-2tx+t²-2t=0的兩根為4和m．
∴

4+m=2t 4m=t2-2t

(m＞4)，
解得t=8，m=12∴t和m的值分別為8和12．（13分）

點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，掌握二次函數的圖象與性質及不等式恒成立時所滿足的條件，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題，注意用到函數中等價轉化的思想．