Question

（選修4-2：矩陣與變換）
矩陣

3 3 2 4

，向量

β

=

6 8

，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對應的特征向量；
（Ⅱ）求向量

α

，使得A2

α

=

β

．

Answer 1

分析：（I）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（II）設向量α=

x   y

，由已知條件得出關于x，y的方程組，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由f(λ)=

.

λ-3-3 -2λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)-6=0得λ₁=6，λ₂=1，
將λ₁=6代入特征方程組，得

3x-3y=0 -2x+2y=0

⇒x-y=0．
可取

1 1

為屬于特征值λ₁=6的一個特征向量．（8分）
將λ₂=1代入特征方程組，同理得

3 -2

為屬于特征值λ₂=1的一個特征向量．
（II）設向量α=

x y

，由

3 4 2 4

]2

x y

=

6 8

，
得

x=-1 y=1

，
∴α=

-1 1

．

點評：本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于矩陣中的基礎題．