Question

12．已知數列{a_n}滿足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}-a）n+8，n＞8}\\{{a}^{n-7}，n≤8}\end{array}\right.$，若對于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由已知數列{a_n}單調遞減，從而0＜a＜1．根據$\frac{1}{3}$＜a＜1，0＜a＜$\frac{1}{3}$兩種情況分灶討論，能求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，
∴數列{a_n}單調遞減，可知0＜a＜1．
①當$\frac{1}{3}$＜a＜1時，n＞8，a_n=（$\frac{1}{3}$-a）n+2單調遞減，
而a_n=a^n-7（n≤8）單調遞減，
∴（$\frac{1}{3}$-a）×9+2≤a^8-7，解得a≥$\frac{1}{2}$，
因此$\frac{1}{2}$≤a＜1．
②當0＜a＜$\frac{1}{3}$時，n＞8，a_n=（$\frac{1}{3}$-a）n+2單調遞增，應舍去．
綜上可知：實數a的取值范圍是 $\frac{1}{2}$≤a＜1．
故選：C．

點評 本題考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．