Question

【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中點,試在棱CC1上求一點P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

設平面A1B1P的一個法向量為n1=(x1,y1,z1), 設平面C1DE的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),

求出n1，n2，利用n1·n2=0，即可求出a，從而確定P點位置.

如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

設平面A1B1P的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則

令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).

設平面C1DE的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則

令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).

∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=，故P.