Question

巳知無窮數列{a_n}的各項均為正整數，S_n為數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，且對任意正整數n都有Sn3=(Sn)3成立，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對任意正整數n，從集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a₁，a₂，a₃，…a_n一起恰好是1至S_n全體正整數組成的集合．
 （1）求a₁，a₂，的值；
 （2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）寫出等差數列{a_n}的前n項和，結合對任意正整數n都有Sn3=(Sn)3成立列式求取首項和公差，從而得到兩個無窮等差數列的通項公式；
（Ⅱ）（1）由題意利用用集合相等求得a₁，a₂的值；
（2）有題意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述規則共產生S_n個正整數，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述規則共產生S_n+1個正整數中，
除1，2，…，S_n這S_n個正整數外，還有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1個數．∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．結合Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)求得S_n，然后由S_n-S_n-1求通項．

解答：解：（Ⅰ）設無窮等差數列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]．
∴Sn3=n3[

d

2

n3+(a1-

d

2

)]
且(Sn)3=n3[

d

2

n+(a1-

d

2

)]=n3[

d3

8

n3+3×

d2

4

(a1-

d

2

)n2+3×

d

2

(a1-

d2

2

)n+(a1-

d

2

)3]．
∵對任意正整數n都有Sn3=(Sn)3成立，
∴

d3 8 = d 2               ① 3d2 4 (a1- d 2 )=0  ② 3d 2 (a1- d 2 )2=0  ③ (a1- d 2 )3=a1- d 2 ④

∵數列{a_n}的各項均為正數，∴d≥0．
由①可知d=0或d=2，當d=0時，由④得a₁=1，且同時滿足②③．
當d=2時，由②得a1=

d

2

=1，且同時滿足③④．
因此，共有兩個無窮等差數列滿足條件，通項公式為a_n=1或a_n=2n-1；
（Ⅱ）（1）記A_n={1，2，…，S_n}，顯然a₁=S₁=1．
對于S₂=a₁+a₂=1+a₂，有A₂={1，2，…，S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，
故1+a₂=4，∴a₂=3．
（2）有題意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述規則共產生S_n個正整數，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述規則共產生S_n+1個正整數中，
除1，2，…，S_n這S_n個正整數外，還有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1個數．
∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．
又Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)．
∴Sn=(S1+

1

2

)•3n-1-

1

2

=

1

2

•3n-

1

2

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-1．
而a₁=1滿足an=3n-1．
故數列{a_n}的通項公式為an=3n-1．

點評：本題考查了等差數列的前n項和，考查了由數列的和求其通項公式，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，該題綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，在數列試題中屬于難度較大的題目．