Question

已知動圓P過點且與直線相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）設直線y=x+2與軌跡E交于點A、B，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交軌跡E于N．
①證明：軌跡E點N處的切線l與AB平行；
②是否存在實數a，使？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵動圓P過點且與直線相切．
∴E的軌跡是以為焦點，
為準線的拋物線方程
所以E的軌跡方程為：y=ax²（a＞0）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，
得：ax²-x-2=0，，

∴，
∴．
①由y′=（ax²）′=2ax，
得：，
∴l∥AB．
②假設存在實數a，使得，
則．
由MN⊥x軸知：．
又
∴或（舍去）
故存在實數，使得．
分析：（1）依題意E的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線方程，由此能求出E的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由得：ax²-x-2=0．△．再由韋達定理結合題設條件能夠求出存在實數，使得．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．