Question

判斷下列函數在給定區間上是否存在零點．
（1）f（x）=x³+1；
（2）f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x³+1=0，解方程得x=-1，由此可得函數在給定區間上存在零點；
（2）方法一：令

1

x

-x=0解得x的值不在定義域內，故函數不存在零點；
    方法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐標系中，作出它們的圖象，從圖中可以看出當0＜x＜1時，兩圖象沒有交點．
    故相應的函數沒有零點．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1），
令f（x）=0，即（x+1）（x²-x+1）=0，∴x=-1，
∴f（x）=x³+1有零點-1．
（2）法一：令f（x）=0得

1

x

-x=0，

1-x2

x

=0，
∴x=±1，而±1∉（0，1），
∴f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）不存在零點．
法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐標系中，作出它們的圖象，從圖中可以看出當0＜x＜1時，兩圖象沒有交點．
故f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）沒有零點．

點評：本題考查函數的零點的性問題，借用了零點與方程根的關系轉化為求方程的根，有根則函數有零點，方法二用作圖法確定函數是否有零點．