Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，(2

a

-3

b

)(2

a

+

b

)=61，
（1）求

a

與

b

的夾角θ；
（2）求|

a

+

b

|；
（3）若

AB

=

a

，

BC

=

b

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量的數量積的值，把這兩個向量展開寫出有關向量的模長和數量積的表示式，得到兩個向量的數量積，代入求夾角的公式得到夾角的余弦值，求出夾角．
（2）利用模長公式做出求模長，這是一個公式的應用．
（3）做出兩個向量的夾角，做出三角形的內角，用正弦定理寫出三角形的面積的表示形式，代入模長和夾角得到結果．

解答：解：（1）∵(2

a

-3

b

)(2

a

+

b

)=61，∴4|

a

|²-4

a

•

b

-3|

b

|²=61，
又|

a

|=4，|

b

|=3，∴64-4

a

•

b

-27=61，∴

a

•

b

=-6，
∴cosθ=

a•b

|a||b|

=

-6

4×3

=-

1

2

又0≤θ≤π，
∴θ=

2π

3

（2）|a+b|=

(a+b)2

=

|a|2+2a•b+|b|2

=

13

（3）∵

AB

與

BC

的夾角θ=

2π

3

，
∴∠ABC=π-

2π

3

=

π

3

又|

AB

|=|a|=4，|

BC

|=|b|=3
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

BC

|sin∠ABC=

1

2

×4×3×

3

2

=3

3

點評：本題考查向量的夾角模長和正弦定理的應用，本題解題的關鍵是對于所給的表示式的整理，得到要用的數量積．