Question

函數(shù)f（x）=x³-px²+2m²-m+1在區(qū)間（-2，0）內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間（-∞，-2）及（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)p的取值集合是

{-3}

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-px²+2m²-m+1在區(qū)間（-2，0）內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間（-∞，-2）及
（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，說明x=-2與x=0是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0即可求得實(shí)數(shù)p的取值集合．

解答：解：由f（x）=x³-px²+2m²-m+1，則f^′（x）=3x²-2px．
因?yàn)閒（x）=x³-px²+2m²-m+1在區(qū)間（-2，0）內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間（-∞，-2）及（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以x=-2與x=0是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)．
則

f′(0)=0    ① f′(-2)=0  ②

，①式顯然成立，所以只需f^′（-2）=3×（-2）²-2p×（-2）=0．
即p=-3．
所以使函數(shù)f（x）=x³-px²+2m²-m+1在區(qū)間（-2，0）內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間（-∞，-2）及（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增的實(shí)數(shù)p的取值集合是{-3}．
故答案為{-3}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，此題是基礎(chǔ)題．