Question

將曲線log₂x+log₂y=2沿x、y軸-分別向右平移兩個單位，向上平移一個單位，此時直線x+y+a=0與此曲線僅有一個公共點，求實數a的值．

Answer 1

分析：利用曲線的平移變換得到平移后的曲線方程，由直線x+y+a=0與平移后的曲線僅有一個公共點，聯立方程組后化成關于x的二次方程的判別式等于0，由此求出a的值，驗證后可得答案．

解答：解：曲線log₂x+log₂y=2沿x、y軸-分別向右平移兩個單位，向上平移一個單位，得到的曲線方程為：
log₂（x-2）+log₂（y-1）=2，即

log2(x-2)(y-1)=2 x＞2，y＞1

，也就是（x-2）（y-1）=4 （x＞2，y＞1）．
聯立

(x-2)(y-1)=4 x+y+a=0

得：x²+（a-1）x-2a+2=0①．
因為直線x+y+a=0與此曲線僅有一個公共點，
所以△=（a-1）²-4（2-2a）=0，解得：a=-7或a=1．
當a=1時，由方程①得x=0，不滿足x＞2．
當a=-7時，由方程①得：x²-8x+16=0，x=4符合x＞2．
所以a=-7．

點評：本題考查了函數的圖象與圖象變化，考查了方程組的解法，解答此題的關鍵是曲線沿y軸向上平移y如何變化，同時注意對數方程的驗根問題，是基礎題也是易錯題．