Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項和前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1變形為a_n+1+1=2（a_n+1），即可證明數列{a_n+1}是等比數列；
（2）由（1）可得：an=2n-1．再利用等比數列和等差數列的前n項和公式即可得出S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+1變形為a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴數列{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為2．
（2）由（1）可得：an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
∴S_n=

2(2n-1)

2-1

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評：本題考查了等比數列的定義、等比數列和等差數列的前n項和公式，屬于中檔題．