Question

已知雙曲線c：的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，且雙曲線的離心率為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若有兩個半徑相同的圓c₁，c₂，它們的圓心都在x軸上方且分別在雙曲線c的兩漸近線上，過雙曲線的右焦點且斜率為-1的直線l與圓c₁，c₂都相切，求兩圓c₁，c₂圓心連線斜率的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y²=4x得焦點（1，0），得雙曲線的c=1．再利用離心率計算公式，及a²+b²=c²，即可解得a，b；
（2）利用點斜式得直線l的方程為x+y-1=0．由（1）可得雙曲線的漸近線方程為y=±2x．進而可設圓c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圓c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因為直線l與圓c₁，c₂都相切，利用點到直線的距離公式可得，經過化簡可得n與t的關系，再利用斜率計算公式即可得出k=，把n與t的關系代入即可得出k的取值方法．
解答：解：（1）由拋物線y²=4x得焦點（1，0），得雙曲線的c=1．
又，a²+b²=c²，
解得，．
∴雙曲線的方程為．
（2）直線l的方程為x+y-1=0．
由（1）可得雙曲線的漸近線方程為y=±2x．
由已知可設圓c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圓c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因為直線l與圓c₁，c₂都相切，所以，
得直線l與t+2t-1=n-2n-1，或t+2t-1=-n+2n+1，即n=-3t，或n=3t-2，
設兩圓c₁，c₂圓心連線斜率為k，則k=，當n=-3t時，；
當n=3t-2時，，
∵t＞0，n＜0，∴，故可得-2＜k＜2，
綜上：兩圓c₁，c₂圓心連線斜率的范圍為（-2，2）．
點評：本題綜合考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與圓相切、點到直線的距離公式、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．