Question

設函數f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定義域為D，若所有點（s，f（x））（s，t∈D）構成一個正方形區域，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：由所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區域知，函數的定義域與值域的區間長度相等，利用二次函數的最值與二次方程的根，建立a，b，c關系式，求得答案．

解答：解：設函數u=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標為：x₁，x₂，x₁＜x₂
∵s為定義域的兩個端點之間的部分，
就是[x₁，x₂]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）_max]，
且所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區
∴|x₁-x₂|=

umax

∵|x₁-x₂|=

2 b2-4ac

2a

=

4ac-b2 4a

∴

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4a

∴a=-4
故答案為：-4

點評：本題借助二次函數及二次方程的有關性質，探討函數的定義域和值域問題，注意二次函數的開口方向，形式比較新穎，是個中檔題．