Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．則A₁B與平面ABD所成角的余弦值（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  7

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：根據題意找到線面角，進而把此角放入三角形△EBG中，利用解三角形的有關知識（正弦定理與余弦定理）解決問題即可．

解答：解：連接BG，則BG是BE在面ABD上的所以，即∠EBG是AB與平面ABD所成的角，
設F為AB中點，連接EF、FG，
∵D、E分別是CC₁、A₁B的中點，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF為矩形，
連接DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF²=FG•FD=

1

3

FD²，
設側棱AA₁=2a
∴EF=a，∴FD=

3

a
于是ED=

2

a，EG=

1× 2

3

=

6

3

a，
∵FC=ED=

2

a，
∴AB=2

2

a，A₁B=2

3

a，EB=

3

a．
∴sin∠EBG=

EG

EB

=

2

3

∴cos∠EBG=

7

3

∴直線A₁B與平面ABD所成角的余弦值為

7

3

．
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，便于判斷線面的位置關系以及解決空間角與空間距離等問題．