Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，Q為雙曲線左準線上的點，且QF交雙曲線于第一象限一點P，若O為坐標原點，且OP垂直平分FQ，則雙曲線的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：根據題意可推斷出F和Q的坐標，表示出其中點的坐標，代入雙曲線方程求得y，利用換元法令e-

1

e

=t 利用k*k'=-1求得a，b和e的關系，最后整理成關于e的一元二次方程求得答案．

解答：解：離心率 e=

c

a

左準線 x=

-a2

c

=-

a

e

右焦點 （c，0） Q（ae，0）
P 是FQ中點，所以 P 點橫坐標
x=

1

2

（-

a

e

+ae）=

1

2

a（e-

1

e

）
代入到雙曲線方程，考慮P在第一象限，得到縱坐標
y=b

x2 a2 -1

=

b

2

(e- 1 e ) 2-4

設 e-

1

e

=t
x=

at

2

y=

b

2

•

t2-4

PF斜率 k=

b 2 t2-4

at 2 -ae

，
OP 斜率
k'=

b

2

t2-4 at 2

PF 與 OP 垂直
k  k'=-1，（

b

a

）²  （t²-4）=t（2e-t）
其中

b2

a2

=e₂-1
把 t 表達式代回 
整理得e²+

1

e2

-6=1+

1

e2

求得e²=7
∴e=

7

故答案為：

7

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了學生綜合把握基礎知識的能力，基本的運算的能力．