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設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°,F(xiàn)1到直線l的距離為2
3

(Ⅰ)求橢圓C的焦距;
(Ⅱ)如果
AF2
=2
F2B
,求橢圓C的方程.
分析:(Ⅰ)過F1作F1⊥l可直接根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得到
3
c=2
3
,求得c的值,進(jìn)而可得到焦距的值.
(Ⅱ)假設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再由點(diǎn)斜式得到直線l的方程,然后聯(lián)立直線與橢圓方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,求出兩根,再由
AF2
=2
F2B
可得y1與y2的關(guān)系,再結(jié)合所求得到y(tǒng)1與y2的值可得到a,b的值,進(jìn)而可求得橢圓方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)焦距為2c,由已知可得F1到直線l的距離
3
c=2
3
,故c=2

所以橢圓C的焦距為4.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知y1<0,y2>0,直線l的方程為y=
3
(x-2)

聯(lián)立
y=
3
(x-2)
x2
a2
+
y2
b2
=1
得(3a2+b2)y2+4
3
b2y-3b4=0

解得y1=
-
3
b2(2+2a)
3a2+b2
y2=
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2

因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
AF2
=2
F2B
,所以-y1=2y2
3
b2(2+2a)
3a2+b2
=2•
-
3
b2(2-2a)
3a2+b2

a=3.而a2-b2=4,所以b=
5

故橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的基本性質(zhì).考查考生對橢圓基本性質(zhì)的理解和認(rèn)知,橢圓的基本性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,每年必考,一定要熟練掌握并能靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點(diǎn)Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)數(shù)學(xué)公式到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點(diǎn)數(shù)學(xué)公式求|PQ|的最大值.

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