Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點D．
（1）求證：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形AA₁C₁C中AC=A₁C₁，結合題意證出△AA₁C₁為等邊三角形，同理得△ABC₁是等邊三角形，從而得到中線BD⊥AC₁，利用面面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）取AB中點E，連結CE、C₁E．由（1）的證明可得△ABC₁與△ABC是邊長為2的等邊三角形，從而得到CE⊥AB且C₁E⊥AB，即∠C₁EC是二面角C₁-AB-C的平面角，在△C₁EC中利用余弦定理即可算出二面角C₁-AB-C的余弦值．

解答：解：（1）∵四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，∴AC=A₁C₁，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，
∵∠AA₁C₁=60°，∴△AA₁C₁為等邊三角形，
同理△ABC₁是等邊三角形，
∵D為AC₁的中點，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD?平面ABC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）取AB中點E，連結CE、C₁E
由（1）的證明，可得△ABC₁與△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∵CE、C₁E分別是△ABC與△ABC₁的中線，
∴CE⊥AB且C₁E⊥AB，可得∠C₁EC是二面角C₁-AB-C的平面角
△C₁EC中，CE=C₁E=

3

2

AB=

3

，
∴根據余弦定理，得cos∠C₁EC=

C1E2+CE2-C1C2

2×CE×C1E

=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

．
即二面角C₁-AB-C的余弦值等于

1

3

．

點評：本題在三棱柱中求證線面垂直，并求二面角的平面角大小．著重考查了面面垂直的判定與性質、棱柱的性質、余弦定理、二面角的定義及求法等知識，屬于中檔題．