Question

A、B是拋物線C：y²=2px（p＞0）上的兩個動點，F是焦點，直線AB不垂直于x軸且交x軸于點D．
（1）若D與F重合，且直線AB的傾斜角為，求證：是常數（O是坐標原點）；
（2）若|AF|+|BF|=8，線段AB的垂直平分線恒過定點Q（6，0），求拋物線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題知：，直線AB的斜率為1，直線AB的方程為，聯立，得：y²-2py-p²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理能夠求出是常數．
（2）由拋物線的定義，知：，所以x₁+x₂=8-p．由點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，知|QA|=|QB|，由此能求出拋物線的方程．
解答：解：（1）由題知：，直線AB的斜率為1
故直線AB的方程為…（1分）
聯立，得：y²-2py-p²=0…（2分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∴…（4分）
∴故：是常數        …（6分）
（2）由拋物線的定義，易知：
∴x₁+x₂=8-p…（7分）
∵點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上∴|QA|=|QB|
即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²…（8分）
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0…（10分）
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4∴拋物線的方程為y²=8x…（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．